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By Rainer Oloff

Die Relativitätstheorie ist in ihren Kernaussagen nicht mehr umstritten, gilt aber noch immer als kompliziert und nur schwer verstehbar. Das liegt unter anderem an dem aufwendigen mathematischen Apparat, der schon zur Formulierung ihrer Ergebnisse und erst recht zum Nachvollziehen der Argumentation notwendig ist. In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie systematisch entwickelt, das ist die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten einschließlich Differentiation und Integration. Die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Die zentrale Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Einstein'sche Feldgleichung, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzt. Ausführlich werden die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. Dieser textual content richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus. Für die neue Auflage wurde das Buch durchgesehen und alle bekannt gewordenen Fehler korrigiert.

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Orthogonal sind, ist unmittelbar abzulesen. 56 5 Spezielle Relativitätstheorie Die Lorentz-Basis x ,eI ,e2 ,e3 im Tangentialraum M p erzeugt dort ein Koordinatensystem Beim Übergang zur anderen Lorentz-Basis x' ,e~ ,e~ ,e~ verändern sich diese Koordinaten zu ryO, ryl, 71 2, ry3, charakterisiert durch ~o , e,e, e. i? Vl- ß2 + ry I ßx 1 + el J- ß2 + ry 2 e2 + ry 3 0 e3 = ~ x +~ I el +~ 2 e2 +~ 3 e3· Koeffizientenvergleich liefert und Daraus ergibt sich e- und I _ ß~o ry -~. e e Zusammen mit ry2 = und ry3 = ist das die Lorentz-Transformation (siehe Einführung), denn ß ist die eI-Komponente der Relativgeschwindigkeit von x' bzgl.

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4 ßi fkaJ. An Operationen mit Tensoren Zunächst sei daran erinnert, daß E~ ein linearer Raum ist. Zwei Tensoren fund 9 gleichen Typs (man sagt auch: gleichen Indexbildes) werden nach der Formel addiert. 2 Das Tensorprodukt f 0 9 zweier Tensoren fEE: und 9 E E; ist ein definiert durch Tensor aus E:t;, f 0 g(a l , ... ,aP,aP+I , ... ,a p+r ,Xl, ... ,Xq,Xq+l, ... ,xq+s ) = 1 .. ,a P,Xl,'" ,Xq) 9 (a p+l , ... ,a p+r ,Xq+l, ... ,Xq+s ) . -- f( a, Das Tensorprodukt zweier Tensoren ist bildbar, wenn jeweils der gleiche lineare Raum E zugrunde liegt.

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