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By Philippe Descola

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Regularidad El axioma de regularidad es x( y y ∈ x → y∈x u∈y u∈ / x). Su relativizaci´ on es x ¯( y y ∈ x ¯→ y∈x ¯ u∈y u∈ /x ¯). Esto significa que la relaci´ on de pertenencia est´a bien fundada en todo elemento de M . Teniendo en cuenta que M es transitivo, esto equivale a que la relaci´on de pertenencia est´a bien fundada en la clausura transitiva de todo elemento de M (aqu´ı suponemos el axioma de infinitud), luego equivale a que todo elemento de M sea regular. En definitiva, M cumple el axioma de regularidad si y s´olo si M ⊂ R, donde R es la clase de todos los conjuntos regulares.

Xn )) si θ es un t´ermino o x1 · · · xn ∈ M (θM (x1 , . . , xn ) ↔ θN (x1 , . . , xn )) si θ es una f´ ormula. Diremos que una sucesi´on θ1 , . . , θk de expresiones de Lm es adecuada si toda subexpresi´ on de cada θi es de la forma θj , con j < i y si θi ≡ x|α, entonces existe un j < i tal que θj ≡ 1 xα. Es claro que toda sucesi´on finita de f´ ormulas de Lm se puede extender hasta una sucesi´on adecuada de expresiones de Lm . 23 Sea θ1 , . . , θk una sucesi´ on adecuada de f´ ormulas de Lm .

Basta tomar x = F −1 (∅). Reemplazo: Fijada una f´ ormula φ(x, y) quiz´ a con otros par´ ametros, hemos de probar x1 · · · xn ( xyz(φVR (x, y) ∧ φVR (x, z) → y = z) → a b y(y R b ↔ x(x R a ∧ φVR (x, y))). Fijados x1 , . . , xn ∈ V, definimos la funci´ on G : A ⊂ V −→V mediante G(x) = y ↔ φVR (x, y). Hemos de probar que a b y(y ∈ F (b) ↔ x ∈ F (a) y = G(x)). Basta tomar b = F −1 (G[F (a)]). Partes: x y u(u R y ↔ Basta tomar y = F −1 (F −1 v(v R u → v R x)). [PF (x)]). Infinitud: Los axiomas de infinitud y elecci´ on son los m´as dif´ıciles de comprobar porque involucran conceptos menos elementales.

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