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By Gerhard Kowol

In diesem Buch wird am Beispiel der ebenen reellen und komplexen projektiven Geometrie und der davon abgeleiteten Cayley-Klein-Geometrien versucht aufzuzeigen, dass das Mathematisieren eine weit über das Fachspezifische hinausgehende Bedeutung hat - sowohl in erkenntnistheoretischer Hinsicht als auch in Bezug auf Anwendungen. Ersteres wird durch den anschaulich-synthetischen Zugang, der im Laufe der Darstellung durch den analytischen ergänzt wird, belegt und durch philosophische und mathematikhistorische Erörterungen untermauert; letzteres erstreckt sich auch auf wenig bekannte Anwendungen innerhalb der Botanik, Kristallografie, Mechanik und Psychologie. Des weiteren werden bislang kaum bzw. nicht in Buchform dargestellte Themen behandelt wie: Natürliche Geometrie von J. Hjelmslev, Beweis des Parallelenaxioms nach P. Lorenzen (konstruktive euklidische Geometrie), Imaginärtheorie nach L. Locher-Ernst, Wegkurven und Wegflächen, Koordinatisierung der Cayley-Klein-Ebenen. Das Buch ist soweit wie möglich elementar gehalten; nur eine Vertrautheit mit mathematischer Argumentation sowie Grundkenntnisse der euklidischen Geometrie werden vorausgesetzt.

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8) Es fehlt noch die Beschreibung der Geradeninversion, also der gew¨ohnlichen Spiegelung σg an einer Geraden g. Wir nehmen zun¨achst an, dass g durch den Ursprung O geht und die Realteilachse h unter dem Winkel ϕ schneidet. Bezeichnet ϑ die Drehung um O um den Winkel ϕ (im Gegenuhrzeigersinn), ϑ(z) = eiϕ z, so gilt ersichtlich σg = ϑ ◦ σh ◦ ϑ−1 , somit z = e2iϕ z¯. Geht nun g durch den Punkt Q(w), so gilt, wenn g¯ die zu g parallele Gerade durch O bezeichnet und τ die Translation um den Vektor w, τ (z) = z + w : σg = τ ◦ σg¯ ◦ τ −1 .

Und so muss man in allen genannten F¨allen verfahren. Dieselbe Frage l¨ asst sich ganz allgemein f¨ ur das Gesamtsystem der euklidischen Geometrie – im weiteren f¨ ur das der Mathematik u ¨berhaupt – aufwerfen, da ja der Beweis jedes Satzes auf irgendwelchen anderen Ergebnissen basiert. Es ist somit von ganz grunds¨ atzlicher Wichtigkeit, die gegenseitigen Abh¨angigkeiten von S¨atzen bzw. Satzgruppen zu ermitteln, um Zirkelschl¨ usse zu vermeiden. Man wird auf diese Weise dahin gef¨ uhrt, die euklidische Geometrie bzw.

13 a∩d, b∩c liegen. Die entsprechenden Punkte seien A, B genannt. Wegen |α| = |β| kann S nicht im Winkelfeld von β und T nicht in dem von α liegen. Die Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes impliziert: A, B, S, T liegen auf einem Kreis k. Weiter liegt C := A, S ∩ B, T außerhalb von k. Aufgrund des Hilfssatzes liefert die Anwendung von κ auf diese Konfiguration eine vom gleichen Aussehen. Dabei liegt wegen Punkt 3) κ(C) außerhalb von κ(k) und somit κ(S) und κ(T ) wieder auf derselben Seite bzgl. κ(A), κ(B) .

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