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By Leopold Kronecker

Die . drei Vorlesungen uber Zahlentheorie, Determinantentheorie und Algebra bildeten den Hauptbestandteil der akademischen Vortrage Leopold Kroneckers an der Berliner Universitat, und ebenso hat sich seine wissenschaftliche Lebensarbeit zum grofsen Theile in diesen drei Gebieten bewegt. Schon in seiner Antrittsrede in der Berliner Akademie der Wissen schaften sprach er aus, wie sehr ihn gerade diejenigen Probleme fllsselten, welche der Arithmetik und der Algebra gemeinlJam sind, und je weiter er selbst schaffend in seiner Wissenschaft vordrang, desto deutlicher wurde ihm der enge Zusammenhang zwischen diesen beiden grofsen Disziplinen und die Notwendigkeit, sie aus den . gleichen Ge sichtspunkten zu behandeln. So wurde auch bei jeder Wiederholung die Verbindung zwischen jenen drei Vorlesungen eine engere, und zu letzt empfand er es als innere Notwendigkeit, sie in einen Cyklus .zu vereinigen, dem er den zusammenfassenden Namen "Ubel" allgemeine Arithmetik" gab. In seinen Vorlesungen wollte Kronecker eine Darstellung jener Disziplinen geben, . welche alle wesentlichen gesicherten Ergebnisse der Forschung bis zur Gegenwart zu einem einheitlichen organisch geglie derten Ganzen . zusammenfafst. So ergab sich mit Notwendigkeit eine Anordnung des Stoffes, welche in vielen Fallen von der durch die historische Entwickelung bedingten wesentlich verschieden conflict. Be sonders Il1ufsten die Prinzipien, welche im neunzehnten Jahrhundert erst spater fur die Wissensch'ltft bestimmend hinzutraten, schon im An fange entwickelt werden, wohin sie ihrer Natu und Bedeutung nach gehorten, wahrend sie sonst vielfach erst dann hinzugezogen wurden, wenn die aus ihnen abzuleitenden Folgerungen dargestellt werden sollten. Endlich mms ich noch auf .

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Die habituelle Schulterluxation

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer booklet documents mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen.

Zur Elementaranalyse der Relativitätstheorie: Einleitung und Vorstufen

Inhaltsübersicht. - I. Einleitung. - II. Die Bedeutung der „Grundlagen“ in der Auffassung Hilberts und Einsteins. - III. Erörterung einiger Vorfragen zu den Darlegungen Weyls. - IV. Das challenge des Augenblicks. - V. Das challenge des Ortes. - VI. Das challenge der Bewegung, des zugehörigen Zeitverlaufs und der Wegbahn.

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Da nun 1 ihrer Natur nach ganze Zahlen sind uud iill'e Nen~er aUIil lauter Faktoren bestehen, die kleiner sind, als die Primzahl p, während allemal ihre Zähler, p enthalten, so mufs jede einzelne von ihnen 1'-1 und damit auch die Summe ~ Ph n P - h durch p teilbar, d. h. =1 16 Zweite Vorlesung. Form p . k sem. Es ist also (n + 1)" - (n + 1) = n" - n +p . k Ist daher n P - n durch p teilbar, so gilt dasselbe auch von (n 1/ - (n 1), und da der obige Satz für n = 1 offenbar erfüllt ist, so ist er hiernach für jeden Wert von n bewiesen.

F. Man bezeichnet dann allgemein die Anzahl derjenigen Zahlen, aus denen bei dieser Darstellung das erste, zweite, dritte, ... k-Eck besteht, als die erste, zweite, dritte, ... k-Eckszahl, so dars also in den oben bezeichneten drei Anordnungen die in der obersten Horizontalreihe neben einander stehenden Zahlen die Reihe der Dreiecks-, Vierecks- und Fünfeckszahlen darstellen. Es sind demnach: 1, 3, 6, 10, 15, 21,,,, ~ (nB + n) die Dreiecks- oder Trigonalzahlen, 1, 4, 9, 16, 25, 36"" nl! n+-2-(k-2) lauten mufs.

Kn zwischen 0, 1, ... perstrecken, deren Summe genau gleich p ist, und wo wieder die Polynomialkoefficienten k , . ~!. k , ihrer Entstehungsweise 1· n· nach natürlich ganze Zahlen sind. Ist nun für einen solchen eines der k, etwa kl gleich p selbst, so sind alle übrigen k2 , ks, ... k n gleich 0, der betreffende Koefficient ist demnach gleich 1; die Gesamtheit aller derartigen Glieder auf der rechten Seite ist offenbar: xi + x: + ... + x!. In allen andern Gliedern unserer vielfachen Summe sind die Zahlen k durchweg kleiner als p; ist daher, was nunmehr angenommen werden soll, p eine Primzahl, so sind alle jene Koefficienten Vielfache von p, weil ihre Zähler p enthalten, die Faktoren ihrer Nenner aber sämtlich kleiner als p sind.

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